Rozkład normalny

Rozkład normalny pozwala obliczać prawdopodobieństwa dotyczące wartości takich jak wzrost czy wyniki pomiarów. Poznaj schemat standaryzacji i rozwiązywania typowych zadań, a następnie przećwicz obliczenia na przykładzie interaktywnym.

Zadania które tu omówimy to jest egzaminowy klasyk - jedno z najpopularniejszych typów zadań.

Ogólny schemat:

Mamy do policzenia prawdopodobieństwo np. $P(X\ge 160)$ gdzie $X$ jest zmienna losowa o rozkładzie normalnym $N(\mu\space \sigma)$ o danych parametrach $\mu$ i $\sigma$ (średnia i odchylenie standardowe)

Aby policzyć to prawdopodobieństwo, chcemy daną zmienną sprowadzić do rozkładu normalnego standaryzowanego o wartości oczekiwanej $\mu =0$ i odchyleniu standardowym $\sigma=1$

Po co?

Będziemy mogli skorzystać z tablic rozkładu $N(0,1)$ , aby odczytać końcowe wartości prawdopodobieństw.

Schemat rozwiązywania zadań z rozkładem normalnym:

Dane $\mu$ i $\sigma$
Pytanie o prawdopodobieństwo $P(x_1 < X < x_2) =$ ?
Standaryzacja (z dokładnością do 2 miejsc po przecinku) $\mu = \frac{x-\mu}{\sigma}$
Pytanie o prawdopodobieństwo z użyciem zmiennej standaryzowanej $P(u_1 < U < u_2)=$ ?
Rysunek pomocniczy.
Tablice statystyczne.
Odpowiedź.

Przykład
Wzrost kobiet w pewnej populacji ma rozkład normalny

N(165, 15)

. Oznacza to, że zmienna losowa jaką jest wzrost kobiet ma rozkład normalny ze średnią równą 165 cm odchyleniem standardowym równym 15 cm. Jaki jest udział w populacji kobiet o wzroście:

do 160 cm
w przedziale 165-170 cm
powyżej 175 cm
dokładnie 150 cm

Spróbuj rozwiązać to zadanie za pomocą widgetu.

Rozwiązanie

Interesuje nas obliczenie prawdopodobieństwa zaznaczonego na niebiesko:

Robimy standaryzacje zmiennej losowej:
$P(X < 106)=P \Big(\frac{x-\mu}{\sigma} < \frac{160-\mu}{\sigma} \Big)=$
Możemy wprowadzić zmienną $U$ - zmienną losową rozkładu normalnego standaryzowanego i podstawiamy dane:
$=P \Big(U < \frac{160-\mu}{\sigma} \Big)=P \Big(U < \frac{160-165}{15} \Big)=P(U < -0.333)=\Phi(-0.333)$

Uwaga: W tablicach rozkładu normalnego najczęściej nie ma ujemnych wartości. Zatem stosujemy "przejście" w postaci: $\Phi(-\alpha)=1-\Phi(\alpha)$ bo dodatnią wartość już łatwo odnajdziemy w tablicach rozkładu normalnego.
$\Phi(-0.333)=1-\Phi(0.333)=1-0.6293=0.3707$
Odpowiedź: Szukane prawdopodobieństwo wynosi 37.07% (czyli pole zacieniowanej części wykresu wynosi 0.3707 na rysunku powyżej).
w przedziale 165-170 cm

$P(165 < X < 170)=P \Big( \frac{165-165}{15} < \frac{X-165}{15} < \frac{170-165}{15} \Big)=P(0 < X < 0.33)=$ $\Phi(0.33)-\Phi(0)=0.6293-0.5=0.1293$
Odpowiedź: Szukane prawdopodobieństwo wynosi 12.93%.
powyżej 175 cm

$P(X > 175)=P \Big( \frac{X-165}{15} > \frac{175-165}{15}\Big)=P(U > 0.67)= 1-P(U < 0.67)=1-$ $\Phi(0.67)=1-0.748571=0.251429$
Odpowiedź: Szukane prawdopodobieństwo wynosi 25.14%.
dokładnie 150 cm

$P(X=15)=P(150 \le X \le 150)= F(150)-F(150)=0$ (bo dla zmiennych losowych ciągłych, prawdopodobieństwo w punkcie jest równe 0)
Odpowiedź: Prawdopodobieństwo wynosi 0.

Dla zmiennych losowych ciągłych (jak w przypadku rozkładu normalnego) zachodzi:

P(X < 165)=P(X \le 165)

Przykład
Naszkicuj wykres gęstości zmiennej losowej X o rozkładzie normalnym

N(2, 0.5)

. Korzystając z tablic wartości dystrybuanty

\Phi

rozkładu normalnego

N(0,1)

oblicz:

$P(X \le 1)$
$P(X > 3)$
$P(X > 0)$

Rozwiązanie

$P(X \le 1)=P \Big(\frac{X-2}{0.5} \le \frac{1-2}{0.5} \Big)=\Phi(-2)=0.0227$
$P(X > 3)=1-P(X \le 3)=1-\Phi \Big(\frac{3-2}{0.5} \Big)=1-\Phi(2)=\Phi(-2)=0.0227$
$P(X > 0)=1-P(X \le 0)=1-\Phi \Big(\frac{0-2}{0.5} \Big)=1-\Phi(-4)=\Phi(4)=0.9999$

Przykład
Tutaj mamy podane prawdopodobieństwo (które wcześniej liczyliśmy), ale nie znamy wartości więc cały proces robimy "odwrotnie".
Wysokość drzewa w pewnym lesie ma rozkład normalny ze średnią 25 m i odchyleniem standardowym 4 m. Planuję się wyciąć 26% najwyższych drzew. Od jakiej wysokości drzewa będą wycinane?

Rozwiązanie
X- zmienna losowa o rozkładzie

N(25,4)

oznaczająca wysokość drzewa
Szukamy takie

a

, że 26% drzew będzie większe od tej wartości

Pole zaznaczone na niebiesko odpowiada 26%
Czyli chcemy rozwiązać równanie:

P(X > a)=0.26

, gdzie

a

jest niewiadomą, a tym razem znamy wartość prawdopodobieństwa

1-P(X \ge a)=0.26

P(X \le a)=0.74

Standaryzujmy zmienną X:

P\Big(\frac{X-25}{4} \le \frac{a-25}{4} \Big)=

Możemy użyć funkcji dystrybuanty rozkładu normalnego standaryzowanego:

=\Phi \Big(\frac{a-25}{4} \Big)=0.74

Teraz znajdujemy wartość odwrotną tej dystrybuanty- w tablicach szukamy takiego argumentu, dla którego funkcja daje 0.74

\frac{a-25}{4}=\Phi^{-1}(0.74)=0.643

Znaleźliśmy, że tą wartością jest 0.643
Przekształcamy równanie:

a=0.643 \cdot 4 +24=26.572

Odpowiedź: Zostaną wycięte drzewa większe od 26.572.

Bibliografia:

Greń Jerzy, Statystyka matematyczna: Modele i zadania, Wyd. 4, Warszawa, PWN, 1974
Rószkiewicz Małgorzata, Statystyka: Kurs podstawowy, Warszawa, EFEKT, 2002, ISBN 83-87338-15-X

Rozkład normalny – interaktywnie

Zadanie: Wzrost kobiet w pewnej populacji ma rozkład normalny

N(165, 15)

. Oznacza to, że zmienna losowa jaką jest wzrost kobiet ma rozkład normalny ze średnią równą 165 cm odchyleniem standardowym równym 15 cm. Jaki jest udział w populacji kobiet o wzroście:

do 160 cm
w przedziale 165-170 cm
powyżej 175 cm
dokładnie 150 cm

Rozwiąż zadanie za pomocą widgetu:

Rozwiązanie:

Interesuje nas obliczenie prawdopodobieństwa zaznaczonego na niebiesko:

Robimy standaryzacje zmiennej losowej:
$P(X < 160)=P \Big(\frac{x-\mu}{\sigma} < \frac{160-\mu}{\sigma} \Big)=$

Możemy wprowadzić zmienną $U$ - zmienną losową rozkładu normalnego standaryzowanego i podstawiamy dane:
$=P \Big(U < \frac{160-\mu}{\sigma} \Big)=P \Big(U < \frac{160-165}{15} \Big)=P(U < -0.333)=\Phi(-0.333)$

Uwaga: W tablicach rozkładu normalnego najczęściej nie ma ujemnych wartości. Zatem stosujemy "przejście" w postaci: $\Phi(-\alpha)=1-\Phi(\alpha)$ bo dodatnią wartość już łatwo odnajdziemy w tablicach rozkładu normalnego.
$\Phi(-0.333)=1-\Phi(0.333)=1-0.6293=0.3707$

Odpowiedź: Szukane prawdopodobieństwo wynosi 37.07% (czyli pole zacieniowanej części wykresu wynosi 0.3707 na rysunku powyżej).
w przedziale 165-170 cm

$P(165 < X < 170)=P \Big( \frac{165-165}{15} < \frac{X-165}{15} < \frac{170-165}{15} \Big)=P(0 < X < 0.33)=$ $\Phi(0.33)-\Phi(0)=0.6293-0.5=0.1293$

Odpowiedź: Szukane prawdopodobieństwo wynosi 12.93%.
powyżej 175 cm

$P(X > 175)=P \Big( \frac{X-165}{15} > \frac{175-165}{15}\Big)=P(U > 0.67)= 1-P(U < 0.67)=1-$ $\Phi(0.67)=1-0.748571=0.251429$

Odpowiedź: Szukane prawdopodobieństwo wynosi 25.14%.
dokładnie 150 cm

$P(X=15)=P(150 \le X \le 150)= F(150)-F(150)=0$ (bo dla zmiennych losowych ciągłych, prawdopodobieństwo w punkcie jest równe 0)

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo wynosi 0.

Rozkład normalny – kurs

PDFy które możesz wydrukować
Teoria | Lekcja video | Zadania

Lekcja 1 - Rozkład Normalny wprowadzenie 11:24

Filmik się nie ładuje? Odśwież stronę Pomoc
Lekcja 3 - Zmienna losowa Z 11:47

Filmik się nie ładuje? Odśwież stronę Pomoc
Lekcja 4 - Rozkład Normalny 19:56

Filmik się nie ładuje? Odśwież stronę Pomoc
Liczba książek wypożyczonych przez studentów ostatniego roku UJ jest zmienną losową podlegającą rozkładowi normalnemu. Przeciętnie w ciągu roku student wypożycza 25 książek, a odchylenie standardowe wynosi 11 książek: N(25,11). Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany student ostatniego roku wypożyczy:
a) nie więcej niż 30 książek
b) więcej niż 40 książek
c) więcej niż 14, ale nie więcej niż 36 książek
d) więcej niż 25, ale nie więcej niż 50 książek.
Dokonano pomiaru wagi wśród wylosowanych 500 chłopców w wieku 17 lat. Otrzymane wyniki charakteryzują się rozkładem normalnym o średniej równej 75 kg i odchyleniu standardowym równym 12 kg.
a) W powyższym przykładzie mediana wynosi ?
b) Zmienna losowa Z ma $μ = ?$ i $σ = ?$
c) Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy chłopca o wadze:
- mniejszej niż 55 kg
- większej niż 85 kg
- o wadze pomiędzy 75 kg a 87 kg
Niech cecha X oznacza wagę [kg] statystycznego kota. Przyjmijmy, że cecha $X \sim N(7,2)$ .
a) Jaka jest częstość obserwacji ( w licznych próbach) przekraczających 10 kg?
b) Jaką wagę przekracza 10% najcięższych kotów?
c) A jakiej wagi nie przekracza 5% kotów najchudszych?
W pewnym teście o rozkładzie normalnym o średniej 100 i odchyleniu standardowym 20, 40% studentów uzyskało wynik lepszy od Jasia. Ile punktów zdobył Jaś (w zaokrągleniu do 1 pkt) ?
Niech zmienna losowa X ma rozkład normalny $X \sim N(0,16)$ . Proszę obliczyć:
a) P(|X| > 0.5)
b) P( X < -3.5) c) P( -1 < X < 1) Zilustrować na wykresie i bez wykonywania obliczeń podać prawdopodobieństwa lub zdefiniować relację: d) P( -1 < X < 1)...P( 0 < X < 2) e) P(X > 0)