Dany jest okrąg o środku w punkcie $O$. Prosta $KL$ jest styczna

Polecenie

Dany jest okrąg o środku w punkcie $O$. Prosta $KL$ jest styczna do tego okręgu w punkcie L, a środek O tego okręgu leży na odcinku $KM$. Udowodnij, że kąt $KML=\beta$ ma miarę ${31}^{\circ }$, wiedząc, że kąt $LKM$ ma miarę ${28}^{\circ }$.

Rozwiązanie

Skoro mamy informację, że kąt $LKM$ ma miarę ${28}^{\circ }$ to dobrze byłoby znaleźć jeszcze jeden kąt trójkąta $LKM$. Możemy najpierw ograniczyć się do trójkąta $LKO$.

Stworzymy teraz prostą przechodząca przez punkty $L$ i $O$. Jest to prosta łącząca środek okręgu ze styczną, zatem kąt między nową prostą, a prostą zawierająca punkty $L$ i $K$ jest kątem prostym. Zatem możemy znaleźć kąt $KOL=\alpha$ korzystając z faktu, że suma kątów w trójkącie wynosi ${180}^{\circ }$.

Zatem :

$\alpha ={180}^{\circ }-{28}^{\circ }-{90}^{\circ }$

$\alpha ={62}^{\circ }$

Na podstawie twierdzenia o kątach opartych na tym samym łuku, które znajduje się w tablicach :

Wzory i teoria — baza wiedzy

 

Możemy łatwo wyznaczyć szukany kąt $KML=\beta$, który jest oparty na tym samym łuku co kąt $KOL$.  Zatem:

$\alpha =2\cdot \beta$

${62}^{\circ }=2\cdot \beta$

${62}^{\circ }÷2=\beta$

$\beta ={31}^{\circ }$ co należało udowodnić.