Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej

Polecenie

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej, wiedząc, że dla argumentu $2$ funkcja przyjmuje wartość najmniejszą, równą $-3$, a do jej wykresu należy punkt $A(4;-1)$.

Rozwiązanie

Ustalmy najpierw: co to znaczy wyznaczyć wzór funkcji w postaci kanonicznej ?

Przypomnijmy najpierw wzór na postać kanoniczną funkcji kwadratowej.

Wzory i teoria — baza wiedzy

Wyznaczyć wzór funkcji w postaci kanonicznej oznacza znalezienie: a,p i q.

Niewiadome p i q możemy otrzymać z faktu, że funkcja przyjmuje wartość najmniejszą, równą $-3$ dla argumentu $2$. Oznacza to, że w punkcie $(2;-3)$ znajduje się wierzchołek funkcji f, czyli $p=2,q=-3$. Ponadto, jeżeli w $(2;-3)$ funkcja przyjmuje najmniejszą wartość to ramiona naszej paraboli muszą być skierowane do góry, czyli %a>0$. Pozostało nam jeszcze wyznaczyć a. Wstawmy je więc do wzoru na postać kanoniczną:

$f(x)=a(x-2{)}^2-3$

Teraz użyjemy naszego punktu A z polecenia. Wstawmy jego współrzędne do wzoru:

$-1=a(4-2{)}^2-3$

$-1=a\cdot 4-3$

$-1+3=4a$

$2=4a$

$a=\frac{1}{2}$

Zatem $f(x)=\frac{1}{2}(x-2{)}^2-3$.