Ciąg $an$ jest określony wzorem $a_n=(n+3)(n-5)$ dla $ n\geq1 $.

Polecenie

Ciąg $an$ jest określony wzorem $a_n=(n+3)(n-5)$ dla $n\ne 1$. Liczba ujemnych wyrazów tego ciągu jest równa?

Rozwiązanie

Widzimy, że wyraz $a_n$ jest tutaj w postaci iloczynowej funkcji kwadratowej.

Nasza funkcja jest uśmiechnięta (jej ramiona idą do góry), ponieważ współczynnik kierunkowy $a=1>0$. Przypomnijmy sobie jeszcze jak wygląda wzór na postać iloczynową: 

Wzory i teoria — baza wiedzy    (tu wstawie obraz)

Możemy łatwo odczytać, że funkcja ta ma miejsca zerowe w $-3$ i $5$.

Narysujmy więc przybliżony wykres podanej funkcji:

  (tu wstawie obraz)

 

Kolejnym krokiem jest odczytanie rozwiązań naszej nierówności $a_n<0$,

czyli $(n+3)(n-5)<0$. Jak łatwo odczytać z rysunku jest to przedział $(-3;5)$ (tam wykres funkcji jest pod osią $OX$, tzn. wartości są mniejsze od $0$).

Wiemy, że $n\ge 1$, tzn. n jako numer porządkowy wyrazów ciągu jest liczbą całkowitą i dodatnią, czyli np. 1, 2, 3, 4… (nie istnieje np. wyraz ciągu $a_{-1}$, lub $a_{\frac{1}{2}}$), zatem rozwiązaniem naszej nierówności są liczby naturalne (bez $0$) z otrzymanego przedziału $(-3;5)$, a więc liczby $1,2,3,4$. Zatem liczba ujemnych wyrazów ciągu $a_n=(n+3)(n-5)$ wynosi cztery.