Polecenie:
Ciąg $an$ jest określony wzorem $a_n=(n+3)(n-5)$ dla $n \neq1$. Liczba ujemnych wyrazów tego ciągu jest równa?
Ciąg $an$ jest określony wzorem $a_n=(n+3)(n-5)$ dla $n \neq1$. Liczba ujemnych wyrazów tego ciągu jest równa?
Widzimy, że wyraz $a_n$ jest tutaj w postaci iloczynowej funkcji kwadratowej.
Nasza funkcja jest uśmiechnięta (jej ramiona idą do góry), ponieważ współczynnik kierunkowy $a=1>0$. Przypomnijmy sobie jeszcze jak wygląda wzór na postać iloczynową:
[tablice] (tu wstawie obraz)
Możemy łatwo odczytać, że funkcja ta ma miejsca zerowe w $-3$ i $5$.
Narysujmy więc przybliżony wykres podanej funkcji:
(tu wstawie obraz)
Kolejnym krokiem jest odczytanie rozwiązań naszej nierówności $a_n<0$,
czyli $(n+3)(n-5)<0$. Jak łatwo odczytać z rysunku jest to przedział $(-3;5)$ (tam wykres funkcji jest pod osią $OX$, tzn. wartości są mniejsze od $0$).
Wiemy, że $n\geq1$, tzn. n jako numer porządkowy wyrazów ciągu jest liczbą całkowitą i dodatnią, czyli np. 1, 2, 3, 4… (nie istnieje np. wyraz ciągu $a_{-1}$, lub $a_{\frac{1}{2}}$), zatem rozwiązaniem naszej nierówności są liczby naturalne (bez $0$) z otrzymanego przedziału $(-3;5)$, a więc liczby ${1,2,3,4}$. Zatem liczba ujemnych wyrazów ciągu $a_n=(n+3)(n-5)$ wynosi cztery.